Trigonometry
- If ∠ A and ∠ B are complementary to each other, then the value of sec² A + sec² B – sec² A . sec² B is
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A + B = 90°
⇒ B = 90° – A
∴ sec²A + sec²B – sec²A . sec²B
= sec²A + cosec²A – sec²A . cosec²A= 1 + 1 cos²A sin²A - 1 sin²A . cos²A = sin²A + cos²A - 1 sin²A . cos²A = 1 - 1 = 0 sin²A . cos²A
Correct Option: D
A + B = 90°
⇒ B = 90° – A
∴ sec²A + sec²B – sec²A . sec²B
= sec²A + cosec²A – sec²A . cosec²A= 1 + 1 cos²A sin²A - 1 sin²A . cos²A = sin²A + cos²A - 1 sin²A . cos²A = 1 - 1 = 0 sin²A . cos²A
- If x, y are acute angles, 0 < x + y < 90° and sin (2x – 20°) = cos (2y + 20°), then the value of tan (x + y) is :
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sin (2x – 20°) = cos (2y + 20°)
⇒ sin (2x – 20°) = sin (90° – 2y – 20°)
⇒ 2x–20° = 70° – 2y
⇒ 2x + 2y = 70 +20 = 90°
⇒ x + y = 45°
∴ tan (x + y) = tan 45° = 1Correct Option: D
sin (2x – 20°) = cos (2y + 20°)
⇒ sin (2x – 20°) = sin (90° – 2y – 20°)
⇒ 2x–20° = 70° – 2y
⇒ 2x + 2y = 70 +20 = 90°
⇒ x + y = 45°
∴ tan (x + y) = tan 45° = 1
- If tan 15° = 2 – √3 , the value of tan 15° cot 75° + tan 75° cot 15°is
-
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tan 15° . cot 75° + tan 75°. cot 15°
= tan 15°. cot (90° – 15°) + tan (90° – 15°). cot 15°
= tan² 15° + cot2 15° ......(i)
tan 15° = 2 - √3
∴ cot 15°= 1 = 2 + √3 2 - √3 (2 - √3)(2 + √3)
= 2 + √3
∴ tan² 15° + cot² 15°
= (2 - √3)² + (2 + √3)²
= 2 (4 + 3) = 14Correct Option: A
tan 15° . cot 75° + tan 75°. cot 15°
= tan 15°. cot (90° – 15°) + tan (90° – 15°). cot 15°
= tan² 15° + cot2 15° ......(i)
tan 15° = 2 - √3
∴ cot 15°= 1 = 2 + √3 2 - √3 (2 - √3)(2 + √3)
= 2 + √3
∴ tan² 15° + cot² 15°
= (2 - √3)² + (2 + √3)²
= 2 (4 + 3) = 14
- The numerical value of cot18°
is
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cot 18°
cot72° . cos²22° + 1 
tan 72° . sec²68° = cot 18°.cot 72°.cos²22° + cot 18° = cot 18°.tan 18°.cos²22° + cot 18° . cos² 68° tan 72° . sec² 18° cot 18°
= cos² 22°+ cos² 68°
= cos²22° + sin²22° = 1
Correct Option: A
cot 18°
cot72° . cos²22° + 1 tan 72° . sec²68° = cot 18°.cot 72°.cos²22° + cot 18° = cot 18°.tan 18°.cos²22° + cot 18° . cos² 68° tan 72° . sec² 18° cot 18°
= cos² 22°+ cos² 68°
= cos²22° + sin²22° = 1
- The value of sin²1° + sin²5° + sin²9° + .... + sin²89° is
-
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No. of terms in 1 + 5 + 9 + ... + 89 = n
∴ a + (n –1) d = t 2
⇒ 1 + (n – 1) 4 = 89
⇒ (n– 1) 4 = 89 – 1 = 88
⇒ n – 1 = 22
⇒ n = 23
Now, sin²1° + sin²89° + sin²5° + sin²85° + ... + to 22 terms + sin²45°
= (sin²1° + cos²1°) + (sin²5° + cos²5°) + ... + to 11 terms +1 ² = 11 × 1 + (1 / 2) √2 = 11 + 1 = 11 1 2 2 
Correct Option: A
No. of terms in 1 + 5 + 9 + ... + 89 = n
∴ a + (n –1) d = t 2
⇒ 1 + (n – 1) 4 = 89
⇒ (n– 1) 4 = 89 – 1 = 88
⇒ n – 1 = 22
⇒ n = 23
Now, sin²1° + sin²89° + sin²5° + sin²85° + ... + to 22 terms + sin²45°
= (sin²1° + cos²1°) + (sin²5° + cos²5°) + ... + to 11 terms +1 ² = 11 × 1 + (1 / 2) √2 = 11 + 1 = 11 1 2 2
